Forza di gravità.html

Caduta di un grave.

La gravità è una delle quattro interazioni fondamentali che regolano l'intero universo. In meccanica classica la gravità risulta essere una forza conservativa che si manifesta fra corpi dotati di massa,^[1] e perciò dotata di un'energia potenziale gravitazionale; nella teoria della relatività generale la forza di gravità è invece legata alla geometria (non euclidea) dello spazio-tempo e devia dalla traiettoria rettilinea anche particelle prive di massa, quali i fotoni.

Indice

1 La legge di gravitazione universale
2 Energia potenziale
3 Campo gravitazionale e accelerazione di gravità
4 Campo gravitazionale in vicinanza della superficie terrestre
5 Problema generale della gravitazione
6 Confronto con la forza elettrica
7 La gravità nella teoria della relatività generale
8 Gravità e fisica delle particelle
9 Altre teorie
10 Storia
11 Dimostrazione
12 Note
13 Voci correlate
14 Collegamenti esterni

modifica La legge di gravitazione universale

Nel libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica del 1687, Isaac Newton enunciò la legge di gravitazione universale:

"Qualsiasi oggetto dell'Universo attrae ogni altro oggetto con una forza diretta lungo la linea che congiunge i baricentri dei due oggetti, di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza".

Illustrazione dell'effetto fionda gravitazionale: l'oggetto più piccolo esce dall'incontro con una velocità superiore a quella che aveva inizialmente, a spese dell'oggetto più grande.

Questa legge, espressa vettorialmente, diventa:

$\vec{F}_{2\,1} = \frac{ G m_1 m_2 }{\left| \vec{r}_2 - \vec{r}_1 \right|^3} (\vec{r}_2 - \vec{r}_1)= \frac{G m_1 m_2 }{\left|\vec r_{21} \right|^2} \hat r_{21}$

dove:

$\vec{F}_{2\,1}$ è la forza con cui l'oggetto 1 è attratto dall'oggetto 2;
G è la costante di gravitazione universale, che vale circa 6,67 × 10^-11 m³kg^-1s^-2;
m₁ e m₂ sono le masse dei due corpi;
$\vec{r}_1$ e $\vec{r}_2$ sono i vettori posizione delle masse e la differenza $\vec r_{21} =(\vec{r}_2 - \vec{r}_1)$ rappresenta un vettore diretto dalla massa 1 alla massa 2; $\hat r_{21}$ è il rispettivo versore.

La norma della forza vale quindi:

$F = G\frac{m_1 m_2}{|\vec r_{21}|^2}$

Dove $r 21$ è la distanza fra i due corpi in cui è applicata la forza. Osserviamo che la forza che il corpo 1 esercita sul corpo 2 si ottiene semplicemente scambiando tutti gli indici 1 e 2: essa è uguale in modulo e direzione ed opposta in verso, come richiesto dal terzo principio della dinamica.

Questa legge è perfettamente calzante qualora si assumano i corpi puntiformi, ovvero aventi tutta la massa concentrata in un unico punto. Se il corpo ha un'estensione spaziale non trascurabile, la relazione si esprime ricorrendo al calcolo integrale, mentre se il corpo ha simmetria sferica, il risultato dell'integrazione fornisce la stessa espressione del caso puntiforme, come conseguenza del teorema di Gauss.

modifica Energia potenziale

Per approfondire, vedi la voce energia potenziale gravitazionale.

Essendo il campo gravitazionale conservativo, esso ammette un'energia potenziale, ottenuta integrando la forza lungo un qualsiasi cammino congiungente due punti a distanze diverse dalla massa m₁ che genera il corpo. L'espressione del potenziale gravitazionale è:

$U(r)=-\frac{Gm_1m_2}{\left|\vec r_2-\vec r_1\right|}$

modifica Campo gravitazionale e accelerazione di gravità

L'accelerazione di gravità in una stanza: la curvatura terrestre è trascurabile e quindi il vettore g è costante e diretto verso il basso.

Supponiamo ora che un corpo di massa (gravitazionale) m₁ rientri nel campo gravitazionale di m₂; essa verrà attratta con una forza data da:

$\vec F_{21}=\frac{G m_1 m_2 }{\left|\vec r_{21} \right|^2} \hat r_{21}$

Definiamo allora un vettore, detto di accelerazione di gravità:

$\vec g:=\frac{\vec F_g}{m_1} = \frac{G m_2}{|\vec r_{21}|^2} \cdot \hat{r}_{21}$

e tramite esso riscriviamo la legge di gravitazione universale:

$\vec F_{21}=m_1 \vec g$

Considerata l'equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale, utilizzando il secondo principio della dinamica deduciamo che il vettore $\vec g$ rappresenta proprio l'accelerazione di un corpo sottoposto ad una forza gravitazionale. È importante notare che l'accelerazione di gravità non dipende dalla natura del corpo che subisce la forza gravitazionale: ogni corpo, sottoposto alla stessa forza, accelera in maniera identica. In prossimità della superficie terrestre possiamo considerare $\vec g$ praticamente costante, e quindi effettuare la seguente approssimazione (uno sviluppo di Taylor di ordine 0):

$\vec g(\vec r)=-\frac{GM_T}{r^3} \vec r \approx -\frac{GM_T}{R_T^2} \hat r$

$g \approx 9,81 \, \frac{m}{s^2}$

oppure : $g \approx 9,81 \, \frac{N}{Kg}$

dove $\vec r$ è il vettore che unisce il centro della terra al corpo su cui agisce la gravità, $\hat r$ il suo versore, R_T è il raggio terrestre e M_T è la massa terrestre.

modifica Campo gravitazionale in vicinanza della superficie terrestre

Per approfondire, vedi le voci accelerazione di gravità e campo gravitazionale terrestre.

Nel precedente paragrafo si è detto che il valore medio dell'accelerazione di gravità nei pressi della superficie terrestre è stimato in 9,82 m/s². In realtà questo valore è diverso da quello medio misurato, perché non tiene conto di altri fattori, quali la forza centrifuga causata dalla rotazione terrestre e la non perfetta sfericità della terra (ha infatti la forma di un geoide). Il valore convenzionalmente assunto è g₀ = 9,80665 m/s², deciso nella terza CGPM nel 1901 e corrisponde all'accelerazione subita da un corpo a 45,5° di latitudine.

Per molte applicazioni fisiche e ingegneristiche è quindi utile utilizzare una versione approssimata della forza di gravità, valida nei pressi della superficie terrestre:

$\vec F=mg_0\hat{z}$

dove $\hat{z}$ è un versore diretto lungo la verticale.^[2] In sostanza la forza di gravità è approssimata con una forza di modulo costante, indipendente dalla quota del corpo, e come direzione il basso, nel senso comune del termine. Naturalmente anche in questa approssimazione corpi con masse diverse hanno la stessa accelerazione di gravità.

L'energia potenziale gravitazionale U_g è data da:

$U_g=mg_0h\,$

dove h è la quota del corpo rispetto ad un riferimento fisso.

Una palla inizialmente ferma in caduta. La sua quota varia con il quadrato del tempo.

In questo caso approssimato è molto semplice ricavare le leggi del moto, mediante integrazioni successive: per un corpo in caduta libera, chiamando z l'asse verticale (sempre diretto verso il basso) e proiettando il moto su di esso, valgono le seguenti leggi:

$a(t)=\frac{F(t)}{m}=g_0\,\!$

$v(t)=v_0+g_0t\,\!$

$z(t)=z_0+v_0t+\frac{1}{2}g_0t^2$

Inoltre, dalla conservazione dell'energia meccanica si ottiene un risultato notevole per corpi in caduta libera inizialmente fermi. Scriviamo l'energia meccanica del sistema ad un tempo generico:

$E=K+U=\frac{1}{2}mv^2+mg_0z$

dove v è la velocità del corpo e z la sua quota. Supponiamo ora che all'istante iniziale $t = 0$ il corpo si trovi ad una quota $z = h$ e all'istante finale $t = \tilde{t}$ abbia una velocità $v=\tilde{v}$ e si trovi a quota $z = 0$ ; scriviamo quindi l'energia del sistema ai due istanti:

$E(0)=mg_0h\,\!$

$E(\tilde{t})=\frac{1}{2}m\tilde{v}^2\,\!$

Dato che l'energia meccanica si conserva possiamo uguagliare le due ultime equazioni e ricavarci il modulo della velocità dopo una caduta di una quota h:

$\qquad \tilde{v}=\sqrt{2g_0h}\,\!$

modifica Problema generale della gravitazione

Il problema generale della gravitazione, cioè la ricerca del campo gravitazionale creato da alcune masse, si può esprimere tramite il teorema di Gauss e il teorema della divergenza. Dal teorema di Gauss segue:

$\int_{\partial V} \vec F_g \cdot \hat n \ \text{d}S=4 \pi G m_{\text{int}} =\int_V 4\pi G \rho \ \text{d}V$

Il primo integrale, cioè il flusso della forza gravitazionale, è esprimibile come integrale di volume della sua divergenza:

$\int_{\partial V} \vec F_g \cdot \hat n \ \text{d}S=\int_{V} \vec \nabla \cdot \vec F_g \ \text{d}V$

Esprimendo la forza gravitazionale come gradiente, cambiato di segno, dell'energia potenziale, e ricordando la definizione di laplaciano:

$\vec F_g=-\vec \nabla U_g$

$\int_{V} - \nabla^2 U_g \ \text{d}V=\int_V 4\pi G \rho \ \text{d}V$

che, dovendo valere per ogni volume di integrazione, implica:

$\nabla^2 U_g=-4 \pi G \rho$ .

Quest'ultima è una equazione differenziale alle derivate parziali del secondo ordine, detta equazione di Poisson, da completare con le opportune condizioni al contorno.

modifica Confronto con la forza elettrica

L'attrazione gravitazionale tra protoni è approssimativamente 10³⁶ volte più debole della repulsione coulombiana.

Nel caso di presenza di interazione di natura elettrica, sono quindi del tutto trascurabili gli effetti della forza gravitazionale nello studio del fenomeno. La forza di gravità risulta quindi invece essere la principale forza agente tra corpi macroscopici dal momento che questi sono in genere elettricamente neutri: a grande distanza da essi le forze coloumbiane tendono a cancellarsi, mentre si sommano tutti i contributi della forza gravitazionale.

modifica La gravità nella teoria della relatività generale

Per approfondire, vedi la voce Relatività generale.

La teoria di Newton della gravitazione permette di descrivere con accuratezza la grande maggioranza dei fenomeni gravitazionali nel Sistema Solare ed in molte situazioni astronomiche. Tuttavia, da un punto di vista concettuale essa presenta alcuni punti deboli, successivamente affrontati nella teoria della relatività generale:

La teoria di Newton presuppone che la forza gravitazionale sia trasmessa istantaneamente con un meccanismo fisico non ben definito ed indicato con il termine "azione a distanza". Lo stesso Newton tuttavia riteneva tale azione a distanza una spiegazione insoddisfacente sul modo in cui la gravità agisse.
Il modello di Newton di spazio e di tempo assoluti è stato contraddetto dalla teoria di Einstein della relatività speciale. Tale teoria è stata sviluppata con successo sulla base del presupposto che esiste una certa velocità a cui i segnali possono essere trasmessi corrispondente alla velocità della luce nel vuoto.
La teoria di Newton non prevede correttamente la precessione del perielio dell'orbita del pianeta Mercurio, dando un risultato in disaccordo con le osservazioni di alcune decine di secondi d'arco al secolo; questo fenomeno è invece un ottimo banco di prova per la relatività generale, le cui previsioni concordano con le osservazioni.
La teoria di Newton predice che la luce è deviata per gravità, ma questa deviazione è metà di quanto osservato sperimentalmente.
Il concetto per cui masse gravitazionali ed inerziali sono la stessa cosa (o almeno proporzionali) per tutti i corpi non è spiegato all'interno del sistema di Newton.

Einstein sviluppò una nuova teoria, denominata relatività generale, che include una teoria della gravitazione, pubblicata nel 1915.

Nella teoria di Einstein, la gravità non è una forza come tutte le altre, ma ha la particolare proprietà di deformare lo spazio-tempo. Propriamente, la gravità non è un'interazione a distanza fra due masse, ma è un fenomeno mediato da una deformazione dello spazio-tempo. La massa genera un campo gravitazionale che deforma le linee di spazio-tempo, incurvando le geodetiche, e le altre masse sono costretti a muoversi in queste orbite.

I pianeti quindi hanno orbite ellittiche non per effetto della gravità, ma perché la gravità incurva lo spazio-tempo. Le masse non possono muoversi in linea retta, e sono costrette a deviare in un'orbita ellittica, dalla presenza di un campo gravitazionale che modifica lo spazio-tempo: la linea più breve fra due punti non è quella retta, ma la geodetica che li congiunge (la geodetica può essere curvilinea).

Le orbite dei pianeti, come risultano dai calcoli di Einstein e Newton, sono sostanzialmente identiche. La teoria di Einstein permette calcoli con un minore margine di errore, e riesce ad esempio a spiegare le "anomalie" del movimento di rotazione del pianeta Mercurio intorno al Sole.

La luce si muove nello spazio vuoto a una velocità costante e, per inerzia, potrebbe teoricamente muoversi in linea retta all'infinito. Incontrando delle masse, viene deviata nel suo cammino.

Il fatto che l'immagine di un pianeta o di una stella appaia due volte quando la luce incontra una massa è una prova sperimentale del fatto che la gravitazione deforma lo spazio-tempo circostante.

Einstein escludeva l'esistenza di azioni simultanee agenti a distanza. Non si verificano mai in fisica due fenomeni esattamente in contemporanea, e questi sono separati da un tempo per quanto breve, comunque finito. Per il principio di azione-reazione, dunque, occorre un tempo finito perché si manifesti una reazione eguale e contraria.

A proposito della gravità, questo concetto valido per le forze e i campi in generale, non è utilizzato per formulare una teoria simile a quella dei gravitoni.

In "La Teoria della Relatività" afferma: "l'orbita di un pianeta intorno al Sole emerge dalla sua traiettoria naturale in uno spazio - tempo modificato; non serve una forza di gravità proveniente dal Sole che agisca sul pianeta. Questo spiega le anomalie nella orbita di Mercurio (la precessione del perielio), non spiegata dalla Gravitazione Newtoniana. La forza si innalza a causa della geometria dello spazio-tempo." La gravità è dovuta a una deformazione geometrica dello spazio-tempo circostante, come mostra il modello di Friedmann. La deformazione può essere causata da una massa, come da altri fattori.

modifica Gravità e fisica delle particelle

Per approfondire, vedi la voce fisica delle particelle.

L'attuale modello teorico standard della fisica delle particelle prevede non solo particelle di massa nulla ma introduce un termine di massa grazie ad una particella elementare detta Bosone di Higgs. L'esistenza del Bosone di Higgs risulta tutt'oggi sperimentalmente non verificata.

modifica Altre teorie

Una diversa spiegazione della gravità è datta dalla teoria del loop quantum gravity e, nell'ambito della teoria delle stringhe, dall'esistenza dei gravitoni.

modifica Storia

Platone ed Aristotele pensavano che solo alcuni corpi, che chiamavano pesanti, fossero soggetti alla gravità. Tra i corpi pesanti non erano inclusi stelle, pianeti, Sole e Luna, il cui movimento "naturale" era ritenuto quello circolare.Aristotele pensava inoltre che oggetti di peso diverso cadessero a velocità diverse. Questa opinione fu contraddetta, nel VI secolo d.C., da Giovanni Filopono, che aveva affermato che facendo cadere corpi di masse differenti nello stesso momento si poteva verificare che arrivavano al suolo contemporaneamente. L'antica idea di Filopono fu ripresa all'inizio dell'età moderna da Galileo Galilei.

Keplero stabilì che le orbite dei pianeti sono ellittiche, ma pensava tuttavia che il movimento dei pianeti fosse dettato da qualche "forza divina" emanata dal Sole.

Newton realizzò che la stessa forza che causa la caduta di una pietra sulla Terra mantiene i pianeti in orbita attorno al Sole, e la Luna attorno alla Terra.

modifica Dimostrazione

Newton dimostrò la formula della gravitazione con il "metodo delle flussioni", un procedimento non matematico, in genere non citato nei libri di testo. La formula della gravitazione non viene dimostrata, ma presentata come una legge empirica, confermata dalle evidenze sperimentali.

Nel suo libro "La teoria della relatività", Albert Einstein descrive il concetto di geodetica e riesce a darne una dimostrazione, pur non deducendo il valore esatto della costante gravitazionale. In pratica, riuscì a dimostrare che la forza di gravità è proporzionale alle masse, e inversamente al quadrato della loro distanza.

modifica Note

^ Dove nella voce si è usato il termine massa senza altri aggettivi, esso sta a indicare la massa gravitazionale, che "genera" il campo gravitazionale, e non la massa inerziale, che rappresenta la costante di proprzionalità tra forza e accelerazione di un corpo. I due concetti sono ben diversi e la loro sostanziale equivalenza non è un fatto scontato. Si veda qui per i dettagli.
^ Un vettore è, per definizione, verticale quando è diretto come l'accelerazione di gravità.

modifica Voci correlate

modifica Collegamenti esterni

Immagine delle differenze gravitazionali della Terra

Teoria della Relatività
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